Eski Yunan döneminden Ortaçağa kadar, yaklaşık 16 yüzyıl matematiğin fizikten üstün bir bilim dalı olduğu düşünüldü. Çünkü matematik daha sağlam temeller üzerine inşa edilmişti ve sadece kağıt-kalemle her şey halledilebiliyordu. Halbuki fizik, karışık deneyler yapıyor ve ölçüm hatalarını içeren kesin olmayan cevaplar ortaya koyuyordu. Deney yapmanın önemi anlaşılır anlaşılmaz, matematik ve fizik işbirliği yaparak, tek başına yapabileceklerinden daha fazlasını yapmaya başladı. Matematiğin yaşı 2500 yıl olmasına karşın, bu birliktelikle özellikle son elli yılda bütün dönemlerden daha çok şey yaratıldı.
Galileo “matematik evrensel bir dil gibidir ve ancak bu dil evrenin yazılı olduğu harfleri okumayı sağlayabilir” demişti. Descartes’te aynı türden bir ifade kullanır ama her zaman ki şüpheciliğine bir soru ekleyerek: “Bu dünya bir bilmece gibidir. Matematik bunun anahtarını veriyor bize, ya da dünya şifreli bir yazıda yazılmıştır, bu şifreyi de matematik veriyor. Ancak bu gerçek bir şifre midir?”[1] Bertrand Russel matematiği “kesin kusursuzluk ve yüce bir güzellik” olarak betimler. Çünkü matematik, şairlerin kullandığı mecaz (analoji) diline benzer. Tek farkı, kullandıkları rakamlar ve sembollerdir.
Matematiğin çalışma şekli aslında çok basittir. Örnek vermek gerekirse; gerçek bir dünya parçasını ele alalım. Bu bilimsel olarak anlatmak istediğimiz gerçek dünya probleminin kendisidir. Önce sembolik bir benzeşim (metafor) geliştirilir. Araştırılan gerçek dünya parçası için matematiksel bir model inşa edilerek, gerçek dünyanın parçası artık matematiksel dünyada “soyut bir kopya” haline gelir. Matematiksel modeli meydana getirme süreci, bu soyutlama sürecidir. Artık üzerinde çalışılacak olan bu kopyadır. Mantık ve matematiğin yasaları ile ondan yeni, daha önce bilmediğimiz özellikler çıkarılır. Böylece, matematiksel soyutlanan alan adeta “şişmanlatılır”. Bu arada analiz yolu ile tekrar yeni bilgiler elde edilir. Ancak bu yeni bilgiler gerçek dünyada değil, tamamen matematiksel dünyada yaşar. Bu bilgilerin gerçek dünyada karşılığının olması zorunluluğu yoktur. Bu soyutlama ve şişmanlatma sırasında hatalar yapılabilir. Bu durumda, ortaya çıkan “gerçeklerle”, beklenen gerçekler ve gerçek dünya gözlemleri uyuşmayabilir. Bu nedenle matematiğin kesin sonuçlar vermesini beklememeliyiz. Sadece bir yaklaştırmadır.[2]
Matematik temel olarak ikiye ayrılır: saf ve uygulamalı matematik. Saf matematik zihinde oynanan bir oyundur. Çoğu zaman bir kağıt üzerinde birbirine karışmış semboller ve benzetmelerden (metaforlar) oluşur. Bu aşamada yeni düşünsel nesneler yaratır. Başlangıçtaki aksiyomlar (temel önermeler), kabullerin gerçekliğinden uzaklaşılır. Saf matematik matematiğin kendisi için yapılır ve dünyada pratik kullanımı yoktur. Diğeri ise uygulamalı matematikdir ve “başka birşey” için yapılır. Başka birşey, her zaman gerçeğin ve nesnelliğin bir yanıdır. Bununla ilişkili olarak da matematikçiler için, iki ayrı dünya vardır. Birincisi, gerçek veya duyusal deneyimlerin dünyasıdır. Diğeri ise matematiksel dünya ya da ideler (düşünceler) dünyasıdır. Bu dünyayı sayılar, analitik fonksiyonlar, matrisler, diferansiyel denklemler, diziler, topolojik uzaylar gibi matematiksel hayali nesneler oluşturur. Matematiksel dünya matematikçinin kafasının içinde, gerçek dünya ise dışarısındadır.
Matematiksel bir önermenin gerçekliği yalnızca ve yalnızca düşünceler arasındaki ilişkiler üzerine, belli simgelerin anlamına bağımlıdır; ve deneyimden hiçbir doğrulamaya gerek duymaz. 4+3=7 demek kendinde varolan şeylere ilişkin bir şey söylüyor olmak demek değildir: önermenin gerçekliği yalnızca terimlerin anlamları üzerine bağımlıdır. Ama, “doğada hiçbir zaman bir daire ya da üçgen olmamış olsa bile, Euklides (Öklid) tarafından kanıtlanan gerçeklikler kesinlik ve açıklıklarını sonsuza dek sürdüreceklerdir”. Diğer bilim dallarının tersine matematik hiç bir zaman “deneyerek doğrulayalım” demez. Örneğin sonsuz küme hesapları toplamı konusunda, matematiğin kabul ettiği şu durum nasıl gerçeklik olarak yorumlanabilir (alef ya da elif À):
À0+À0=2À0=À0 ve À0xÀ0=À0^2=À0
Yani sonsuzla sonsuzun toplamı 2 sonsuz (2À0) ve fazladan bir sonsuz daha yapıyor. Çarpımı ise beklenildiği gibi sonsuzun karesine eşit ama aynı zamanda da bir sonsuza eşit oluyor!
Matematikte yeni bir kavram ortaya çıktığında, aşamalı bir evrim geçirir. Başlangıçta fazla soyut bulunan bir kavram reddedilir, doğaya aykırı olarak değerlendirilebilir. Ancak, zamanla uygulamalarda yararlılığı ve kullanılışlığı görülünce kabul edilmeye başlanır. Matematikteki “negatif” ve “kompleks-karmaşık” sayılar buna örnektir. Bu sayısal adlandırmalar ve kullanımlar uzun süre kelime oyunu ya da saçmalık olarak değerlendirilmiştir. Fakat zamanla, kullanılırlıkları görülünce matematikçilerin vazgeçilmezlerinden oldular. Bu yüzyıldaki matematiksel düşgücünün yaratılarının tamamı modern bilime uygulanabilmiş değildir. Belki zaman ihtiyacımız vardır.
Doğa bizden nesnelerin etkilerinin tamamıyla bağlı bulunduğu kuvvetleri ve ilkeleri saklarken bizi bu gizin tümünden oldukça uzakta tutar ve onların sadece bir kaç yüzeysel niteliğinin bilgisini verir.[3] Bazı fizikçilerin görüşüne göre, fizik biliminin görevi, deney ve hesaplamalar ile, nesnel-maddesel fiziksel gerçekliği açıklamak değildir. Fizik yalnızca ampirik olarak mümkün olan deneyleri konu edinerek, sonuçlarını bulmaya çalışır. Ancak bu şekilde, fizikten “metafizik” temizlenebilir. Kuantum mekaniğindeki hal betimlemesi olan ψ-psi, matematiksel özellikleri iyi tanımlanmış bir fonksiyonla temsil edilir. Fiziksel nesnenin dinamik özellikleri, matematiksel soyut bir uzayda, matematiksel nesnelerle temsil edilmektedir. Ancak, ψ-psi’nin fiziksel gerçeklikte neye karşılık geldiği, neyi temsil ettiği açık değildir. Hal terimini “fiziksel nesne” olarak yorumlamak mümkün değildir. Fiziksel nesnenin halinin anlatılması, nesnenin belli bazı dinamik özelliklerinin niceliksel olarak dile getirilmesidir. ψ-psi mikroevrensel dalga olarak yorumlansa bile, fiziksel gerçekliği eksik olarak temsil eder.[4] Bilim ve fiziğin temel amacı, fiziksel gerçekliği ve süreçleri dile getirmektir. Bunu yapabilmek için semboller ve matematiksel nesneler kullanılır. Fiziksel bakımdan var olana, fiziksel gerçeklikte olup-bitene, sembolik karşılıklar matematiksel olarak bulunur. Fiziksel gerçeklikle, onu temsil eden matematiksel semboller arasında tam bir eşleşme olmayabilir. Kuantum mekaniksel işlemler-denklemler sadece matematiksel statüleri olan kavramlardır. Elde edilen özdeğerler (eigenvalue), insandan bağımsız bir evren olduğunun kabul edilmesi durumunda bile, bu evrende gerçekten var olan bir şeye karşılık gelmezler. Dinamik değişkenler (hız, konum, momentum, enerji) maddesel sistemlerin elle tutulur özelliklerinin soyut temsilcileridir. Özdeğerler ise elle tutulur özelliklerin bir ölçme sürecinde alabilecekleri sayısal değerleri gösterirler. Ancak, bunun tersi bir durum da olabilir. Tıpkı Heinrich Hertz’in matematiksel teori olarak varlığını öne sürdüğü, hiç görmediği elektromanyetik dalgaları doğrudan doğruya fiziksel evren içinde bulması (1888) gibi.
Matematiksel olarak türetilen mümkün olanın, fiziksel bakımdan da mümkün olma zorunluluğu yoktur. Yani, “matematiksel mümkünlük” ile “fiziksel mümkünlük” ayrı ayrı kavramlardır ve birbirlerine denk değildirler. İfade edilmeleri kolay olan matematik kavramların ispatlarının mutlaka kolay ve anlaşılır olması gerekmez. Buna örnek olarak, Dirac δ (delta)-fonksiyonu örnek olarak verilebilir. Bu fonksiyon fiziksel gerçeklikte herhangi bir şeye karşılık gelmez. Oysa, varlığı matematiksel olarak kabul edilmiştir. Yani, matematiksel bir hal betimlemesi olarak Dirac δ (delta)-fonksiyonu vardır, ancak, bu betimlemenin dile getirdiği hali fiziksel gerçeklikte karşılık olarak bulmak mümkün değildir.[5]
Buradan çıkan temel soru şudur: matematik insan zihnince yaratıldı mı, yoksa doğadan keşfedildi mi? Platonik bakış açısı ile matematiksel doğrular ve matematik daima bir yerlerde vardır. Matematikçiler ise onları keşfederler. Yani matematik, insan zihninin bir yaratısı değildir. Diğer yandan, akla daha uygun olanı evrensel düzenin belli ilkeler üzerinde olduğu ve matematiksel ilişkilerin de bu ilkelerin içinde yer aldığıdır. Yani doğada bir kurallar, diziler, ilişkiler zinciri vardır ve bu belli bir bilimsel dille (matematik) ifade edilebilirdir. Örneğin, Fibonacci dizileri olan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….sonsuza giden dizisi matematiksel ilişki zinciridir. Her bir sayı bir önceki ikisinin toplamıdır. Yani matematiksel dille, n’inci sayıyı Fn ile yazacak olursak Fn=Fn-1+Fn-2 ifade edilir. Her Fibonacci sayısını bir sonraki komşusuna bölecek olursak yaklaşık sabit bir altın oran elde edilir: 0.618033989. Fibonacci dizisi matematiksel bir ifade olmasına karşın, doğada bu diziye uyan bir çok fiziksel karşılık vardır: papatya yaprakları, ayçiçekte çekirdek düzenlenişi, çam ağacı kozalakları. Fibonacci ile uyumsuz kozalak bulma şansı çok düşüktür. Evrimsel olarak doğada Fibonacci dizileri hakimdir. Diğer yandan Lucas sayıları olan 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322… bazen doğada görünürler. Ancak, bizim görmememiz doğada bu ilişkinin bir yerlere olmadığı anlamına gelmez. Demek ki matematik doğada var ve biz bunun sembolik karşılıklarını buluyoruz.
Fibonacci dizisi (/serisi) ile ilgili kısa bir film
Matematiğe en büyük darbe, 1931 yılında Kurt Gödel tarafından indirilmiştir. Bu eksiklik (incompleteness) teoremidir. Buna göre matematikte ne doğru ne de yanlış oldukları kanıtlanamayacak ifadeler bulunur. Matematiğin varoluşu için gereken tek ölçütün mantıksal kendi içinde tutarlılık olduğunu ileri süren kuralcı felsefeyi ciddi şekilde eleştirdi. Gödel teoremi, bir çok matematikçi tarafından, matematiğin temellerine indirilmiş bir darbe, paramparça edici, bütün çalışmaların üzerine su akıtma ya da mantığın temellerini sarsma olarak değerlendirildi. Bu teoremdeki zeka ve derinlik çok kişiyi etkilemesine rağmen matematikteki sorunların çözümüne (olumlu ya da olumsuz) hiçbir etkide bulunmadığı da savunulur.
Kurt Gödel, önce bizim her zamanki matematiğimizi kapsayacak kadar geniş herhangi mantıksal bir sistemin zorunlu olarak eksik olacağını saptadı. Gödel, matematiksel doğruluğun insan aklının yaratısı olmadığını, gerçekten de var olan bir şey hakkındaki nesnel doğruluk olduğuna inanıyorudu. Doğruluğu ya da yanlışlığı asla gösterilemeyecek olan bunun gibi matematiksel ya da mantıksal bir sistemde dile getirilebilecek yargılar her zaman olacaktı. Sonra da, bu sistemin mantıksal olarak kendi içinde tutarlı olduğunun kanıtlanmasının asla mümkün olamayacağını gösterdi. Eğer matematiksel bir sistem tutarlı ise, o zaman doğruluk kavramının sistem içinde tanımlanamayacağını gösterdi. Daha büyük bir sistem kullanılarak bunlar her zaman için tanımlanabilir, ama bu yalnızca daha büyük bir sistem içinde tanımlanması daha güç kavramlar yaratmak pahasına olabilir.[6]
[1] Descartes R. Felsefenin İlkeleri. Say Yay. Çev:M.Akın,1998;25-26.
[2] King JP. Matematik Sanatı. TÜBİTAK, 1997;83-93.
[3] Hume, D. İnsan Zihni Üzerine Bir Araştırma. Çev: S.Öğdüm. İlke yay. 1.Baskı, 1998;37
[4] Koç Y. Teorik Fizik Monografileri. Cilt 1. İst Ünv Yay. 1983;55-62.
[5] Koç Y. Teorik Fizik Monografileri. Cilt 1. İst Ünv Yay. 1983;118
[6] Barrow, JD. Gökteki Pi. Beyaz yay. 2001;162; 172
Bu metin bütün hakları Sultan Tarlacı’ya ait olup, www.kuantumbeyin.com adresinden değiştirilmeden alınmıştır. Ancak,metne bağlantı ve resim eklenmiştir.
Tarlacı, S., 2009. Matematik Doğayı Tanımlamada Yeterli midir?, Ölçme Sorunu, Kuantum Fiziği, http://www.kuantumbeyin.com/index.php?option=com_content&view=article&id=313:matematik-doay-tanmlamada-yeterli-midir&catid=67:oelcme-sorunu, 30 Kasım 2009 tarihinde ulaşılmıştır.
